Les Principia Mathematica de Bertrand Russell

21 février 1971
05m 44s
Réf. 01436

Notice

Résumé :

En 1971, un an après la mort de Bertrand Russell, l'émission Un certain regard évoque l'oeuvre du mathématicien britannique, en particulier sur le rôle des Principia Mathematica dans la fondation de la philosophie et des mathématiques modernes.

Type de média :
Date de diffusion :
21 février 1971

Contexte historique

Bertrand Russell (1872-1970) est l'un des philosophes occidentaux majeurs du XXe siècle. Sa production philosophique s'étend de 1898 (date de son premier ouvrage publié, sur Leibniz) jusqu'à la fin des années 1950. Par ailleurs, Russell fut, au-delà de ses travaux en philosophie pure, une figure publique importante. Son engagement politique fut précoce : son pacifisme le conduisit en prison au cours de la Première Guerre mondiale ; plus tard, il milita contre l'armement anti-nucléaire et contre la guerre du Vietnam dans les années 1960. Il fut aussi très contesté pour ses prises de position morales, en faveur du divorce et de l'amour libre. Il reçut le prix Nobel de littérature en 1950. Il fut aussi un grand vulgarisateur, parmi l'un des premiers à vouloir rendre accessible les théories physiques d'Einstein.

Mais tout cela ne doit pas faire oublier que sa contribution à la philosophie est absolument fondamentale. Il n'est pas exagéré de dire qu'à lui seul il a infléchi le cours de la philosophie occidentale contemporaine. Or, une bonne partie de ce renouvellement vint de la réflexion de Russell sur les fondements des mathématiques et de la logique. Au tout début du XXe siècle, les mathématiques connaissaient ce qu'on appelle la " crise des fondements ". Dans le cours d'une systématisation de l'ensemble de l'édifice de la connaissance mathématique, on était parvenu à dégager quelques notions premières extrêmement abstraites, telle la notion d'ensemble (cf. Qu'est-ce qu'un mathématicien ? ). L'usage de ces notions avait conduit à ces " paradoxes " dont parle Laurent Schwartz dans le documentaire. Le plus simple et le plus frappant est le paradoxe découvert par Russell et qui porte son nom, de l'ensemble de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. Si cet ensemble appartient à lui-même, alors par la définition de ses membres, il n'appartient pas à lui-même : contradiction. Mais s'il n'appartient pas à lui-même, il satisfait précisément le critère des ensembles qu'il contient ; donc il appartient à lui-même : contradiction encore. Pour surmonter cette crise des fondements, il fallut se lancer dans une analyse générale, philosophique et logique de la nature des objets mathématiques - et la contribution de Bertrand Russell dans ce domaine fut déterminante. La question " de quoi les mathématiques traitent-elles? " est l'une des plus anciennes de la philosophie. La question est tellement fondamentale, qu'en réalité, la réponse qu'on y apporte a un effet bien au-delà des seules mathématiques. En effet, si on affirme que les objets mathématiques (nombres, éléments premiers de la géométrie...) existent comme des réalités idéales autonomes (le "platonisme" en philosophie des mathématiques), cela donnera un point d'appui considérable à la défense plus générale des objets abstraits réels (le "réalisme"). En revanche, si on affirme que les mathématiques sont un langage, par exemple, alors on aura plus de facilité à défendre le "nominalisme" en métaphysique, c'est-à-dire la thèse selon laquelle nos termes généraux ("beauté", par exemple) ne sont pas les noms de réalités mais de simples manières de parler (en l'occurrence, des choses belles).

Dans ce débat, Russell défend une position qu'il appelle le "logicisme": pour lui, l'ensemble des mathématiques se construit à partir de quelques idées logiques fondamentales; autrement dit, les mathématiques, dans leur intégralité, ne sont rien de plus que la logique développée. Une fois posés quelques axiomes logiques premiers et règles d'inférence (étapes élémentaires dans les raisonnements), l'ensemble des mathématiques s'obtient naturellement. C'est à cela que Schwartz fait allusion lorsqu'il compare les mathématiques au jeu d'échecs. Dans la conception de Russell, cependant, le point de départ du raisonnement axiomatique n'est pas quelconque, ce sont les idées logiques fondamentales. Quelles sont ces idées? Des notions telles que celle de "relation", de "proposition", d'"implication", etc. Or, pour Russell, ces idées sont des réalités indépendantes et autonomes ; ce sont en même temps les structures fondamentales de la raison et celles de la réalité même. Ceci montre que la comparaison avec le jeu d'échecs n'est pas du tout dans l'esprit russellien. Dans la mesure où la thèse logiciste consiste à dire que la mathématique s'obtient en développant les idées contenues dans la logique, elle est en profondeur une conception axiomatique. Russell considère qu'on doit poser les idées premières et les modes de raisonnements premiers et qu'ensuite tout le contenu doit être tiré simplement de ces données de base. La démarche axiomatique n'est évidemment pas nouvelle en mathématique, puisque c'est celle inaugurée par Euclide dans les Eléments. Mais Russell, avec d'autres à son époque, la radicalise sur deux points : (i) d'une part les idées premières qu'il admet sont considérablement plus abstraites que celles d'Euclide ; (ii) d'autre part il insiste sur l'idée que les étapes élémentaires des raisonnements elles-mêmes doivent correspondre à des règles d'inférences premières clairement formulées au départ.

De ce point de vue, les remarques de Laurent Schwartz dans le documentaire sont parfaitement pertinentes : Russell considère bien qu'une fois que les idées et règles de raisonnement (inférences) premières sont posées, le reste s'ensuit de manière non pas automatique mais incontestable. Mais, là où Schwartz déforme un peu la pensée de Russell, c'est quand il insiste sur l'idée que dans la position des idées premières, le mathématicien n'obéit qu'à son libre caprice. Pour Russell au contraire, découvrir les idées logiques fondamentales est un travail qui ne laisse rien à l'arbitraire: il faut à la fois une enquête philosophique d'analyse du langage et de la réalité, et un travail technique chargé d'en apprécier la cohérence. La description que Schwartz donne de l'activité du mathématicien correspondrait plus à la conception " formaliste ", philosophie selon laquelle les vérités reposent sur des conventions entre les hommes. En réalité, il serait mieux de qualifier la position de Russell comme un mélange de formalisme quant au développement technique des mathématiques, associé à un platonisme, qui considère réelles et vraies les idées fondamentales de la logique, fondements de l'axiomatique. En interprétant de la sorte la pensée de Russell, Laurent Schwartz rend compte de l'interprétation qu'en ont fait les mathématiciens de son temps, en particulier Nicolas Bourbaki.

Bourbaki, nom d'un groupe de mathématiciens français, dont Schwarz avait fait partie, avait pour objet de reformuler l'ensemble des mathématiques à partir des idées premières, selon une axiomatique, et ainsi rendre compte de l'unité de " la " mathématique. Russell a exposé le logicisme en deux temps, dans deux ouvrages qui sont des points cardinaux, l'un de la philosophie, l'autre des mathématiques, du XXe siècle. Dans les Principes des mathématiques (1903), il expose les principes généraux de la thèse logiciste; il se livre à une analyse philosophique extrêmement fouillée pour dégager les idées premières de la logique; puis il montre au long des 59 chapitres comment les grandes théories qui servent de cadre aux mathématiques de son temps pourront s'inscrire dans le développement de l'axiomatique fondée sur ces idées. C'est donc un texte de philosophie où les développements mathématiques ne sont pas détaillés. L'analyse logique qui y est pratiquée fut au fondement de ce qu'on appelle depuis la " philosophie analytique ". Les Principia Mathematica (1910-13, le titre seul est latin, le texte lui-même est en anglais ou utilise des formules) sont écrits avec Alfred Whitehead : le programme que Russell a exposé dix ans plus tôt est réalisé avec une rigueur inconnue jusqu'à présent des mathématiciens.

Tandis que les Principes des Mathématiques furent et restent un modèle d'analyse philosophique, les Principia Mathematica, eux, furent le point de départ de la logique mathématique moderne. En effet, bien que Russell et Whitehead aient emprunté beaucoup de leurs idées et techniques d'autres auteurs, ils réalisèrent une synthèse et une mise en pratique d'une telle ampleur qu'ils jouèrent un rôle de catalyseurs dans l'édification de la nouvelle logique. Ce n'est pas le moindre aspect du génie de Russell que, lui qui n'était pas formellement mathématicien, ait passé dix ans de sa vie à édifier une discipline mathématique : il voulait prouver qu'une thèse qu'il avait annoncée en tant que philosophe n'était pas simplement un programme en l'air, mais pouvait devenir réalité.

Bibliographie :

Bertrand Russell, Ecrits de logique philosophique, trad. JM Roy, Paris, PUF, 1989. (Contient des extraits des Principles et des Principia, ainsi que d'autres textes fondamentaux de cette période de l'activité de Russell).

Bertrand Russell, Problèmes de Philosophie, trad F Rivenc, Paris, Payot, 1989. (Contient un exposé général de la philosophie de Russell, à l'époque des Principles et des Principia.)

Bertrand Russell, Introduction à la philosophie mathématique, trad. F Rivenc, Payot, Paris, 1991. (Exposé du logicisme simple d'accès.)

Christelle Rabier

Éclairage média

Le magazine Un certain regard est une production de l'ORTF et paraît dans le cadre de diffusion mensuelle, après l'adoption de la grille des programmes en 1969. Cette émission, à l'origine produite par le Service de la recherche, propose des sujets variés en production propre. Pour le documentaire, la personnalité exceptionnelle de Bertrand Russell, récemment disparu, permet d'associer des analyses sur des sujets aussi variés que la logique et l'engagement politique. Dans ce documentaire, François Châtelet, journaliste scientifique, invite Laurent Schwarz à intervenir à propos de l'oeuvre mathématique de Bertrand Russell.

A cette date, Laurent Schwarz est un mathématicien reconnu : en 1950, il est le premier Français à obtenir la médaille Fields, récompense internationale la plus prestigieuse pour les mathématiques, équivalente au Prix Nobel. Il est par ailleurs connu pour son engagement politique qui le rapproche de Russell : il a milité notamment contre la torture en Algérie, prônant la désobéissance des soldats et fut un ardent défenseur de la décolonisation.

L'extrait du documentaire est fondé sur un long entretien avec Laurent Schwarz, filmé dans le cadre de son bureau, où s'entassent de nombreux livres. Ce n'est plus la personnalité de l'enseignant de mathématiques à son tableau noir qui est présentée, mais bien plutôt celle de l'humaniste. Le réalisateur a eu accès aux images d'une interview filmée que Russell avait accordée un journaliste américain. On peut sans doute y voir une forme de collaboration entre journalistes scientifiques intéressés par les mêmes sujets, plutôt qu'une politique de l'ORTF d'achat d'émissions étrangères. Utilisées comme des documents d'archives, ces images servent soit de citation, soit de support au commentaire du journaliste sur l'histoire de Russell.

Christelle Rabier

Transcription

François Châtelet
A 18 ans, il entre à Cambridge, à la Trinity College, son cursus universitaire était brillant. Très jeune, à 22 ans, il publie les fondements de la géométrie, il publie un autre livre sur les mathématiques et bientôt, c'est son grand ouvrage, en collaboration avec Whitehead, son grand ouvrage, les «Principia mathematica». Les «Principia mathematica», Laurent Schwartz, qu'en est-il, quelle est leur importance ?
Laurent Schwartz
Je crois que ça a une très grosse importance dans les fondements des mathématiques modernes. Il est certain qu'à la fin du XIXème siècle, il y avait une crise qui n'affectait pas l'ensemble des mathématiques mais une crise des fondements des mathématiques, personne ne savait plus très bien ce qu'étaient les fondements des mathématiques, on confondait la philosophie, les mathématiques et la psychologie. On discutait sur le sens du mot «il existe», «on peut trouver», «il n'existe pas», «tous les objets possèdent telle ou telle propriété» et toute une correspondance était échangée entre des mathématiciens au sujet des paradoxes des mathématiques. Et ces paradoxes venaient de ce qu'on mélangeait une structure scientifique bien déterminée avec des choses qui n'avaient rien avoir avec eux. De la même manière que, au temps d'Euclide et avant les réflexions sur la géométrie euclidienne, on parlait de point, de droite, de plan, de cercle en leur affectant d'emblée le sens que nous leur connaissons sans voir que ce ne sont pas là des définitions mathématiques mais des objets naturels et que ça ne constitue pas une science mathématique proprement dite. Vers la fin du XIXème siècle, il en était de même en ce qui concerne la théorie des ensembles, c'était nécessaire de remettre les choses en ordre et de montrer que les mathématiques au point de vue de leur fondation, sont comme un jeu d'échecs ou un jeu de bridge dont on fixe les règles. Après la fixation de ces règles, on démontre des théorèmes, on peut se demander si les choses sont contradictoires ou ne le sont pas mais ça n'a pas de rapport avec les conceptions de la vie courante. Si je vous indique comment se joue une partie d'échecs et quels sont les mouvements de la tour ou du cheval et bien, vous n'aurez pas l'idée de les discuter, vous ne me direz pas, mais est-ce que vraiment une tour se déplace comme ça ou est-ce que vraiment un cheval se déplace comme ça. Vous accepterez que la tour et le cheval aient des déplacements déterminés, vous accepterez qu'au jeu de bridge, l'As soit supérieur au Roi alors que dans d'autre jeu de cartes, c'est le roi qui est le plus fort ou c'est la manille, tout ça, ce sont des règles du jeu. Et bien, il apparaît que les mathématiques sont un jeu, dans une certaine mesure, qu'on fixe les règles du jeu, qu'on pourrait en fixer d'autres, qu'on peut les discuter et qu'à partir de cette fixation des règles, on développe normalement les mathématiques, tout en pouvant essayer de voir quelles actions supplémentaires on pourrait, retirer, ajouter, discuter, discuter de la contradiction ou de la non-contradiction du système. C'est dans cet état de bouillonnement des idées que Russel s'est introduit, il a lui-même montré d'ailleurs, introduit quelques paradoxes et démontré quelques premiers théorèmes d'apparence paradoxale. Par exemple, c'est Russell et Whitehead qui ont démontré qu'il n'existe pas un ensemble de tous les ensembles. Cette question a l'air tout à fait, on pourrait dire qu'elle est du jargon philosophique incompréhensible or elle se posait en termes mathématiques parfaitement clairs et mathématiquement il existait une réponse à cette question, oui ou non ou on ne sait pas. Il a eu le mérite de lancer des idées pareilles et dans les «Principia mathematica», il a montré avec Whitehead qu'on pouvait construire une mathématique en utilisant un certain nombre de règles de jeu au départ et ensuite on développait des théorèmes pendant plusieurs dizaines ou plusieurs centaines de pages, qui étaient de pures et simples conséquences des règles du jeu fixées, les mathématiques devenaient une science autonome, qu'elles sont aujourd'hui. Et aujourd'hui, c'est un fait que par exemple, il y a moins ou peu de paradoxes, il n'y a plus de discussions de ce genre. Quand on discute aujourd'hui en logique, on ne se demande pas si on a le droit de faire telle ou telle opération en vertu de ce que nous pensons naïvement, on se demande si elles résultent ou non des règles du jeu. Tous les problèmes de contradiction et de non-contradiction, d'axiomes déductibles ou non déductibles les uns des autres, sont posés en termes tellement clairs qu'il n'y a plus guère de discussion possible et que la logique est devenue une branche extrêmement vivante et extrêmement développée des mathématiques. Je crois que cette logique moderne, cette étude de l'axiomatique moderne, qui déborde considérablement maintenant et bien, un de ses grands fondateurs a été Bertrand Russell.
François Châtelet
A qui vos écrits ont-ils inspiré de curieuses réflexions ?
Bertrand Russel
C'était [Woolich], un pauvre type, il en est mort. Il pensait beaucoup de mal de moi, il m'écrivait : «Chacun de vos ouvrages est inspiré par la lubricité». Et j'avais pensé lui envoyer les «Principia mathematica» pour lui demander de m'en indiquer les passages lubriques.
François Châtelet
Mais vous vous êtes permis quelques blagues dans les «Principia», Bertie.
Bertrand Russel
Très peu, très peu. Je me souviens avoir prouvé au chapitre 110 qu'un et un font deux et remarquer qu'à l'occasion, cette proposition est utile.