Les montagnes fractales du professeur Mandelbrot

07 mars 1983
02m 11s
Réf. 01456

Notice

Résumé :

En 1985, Benoît Mandelbrot présente la géométrie fractale. A partir d'un paysage simulé par ordinateur, il explique que la géométrie fractale permet de décrire des formes réelles, à partir d'une mesure : le nombre fractal.

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Date de diffusion :
07 mars 1983
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Contexte historique

L'histoire des objets fractals est inséparable de celle de Benoît Mandelbrot qui en est l'inventeur : c'est lui qui a forgé le nom de l'objet mathématique particulier qu'il étudie, de " fractus ", brisé.

Benoît Mandelbrot a développé sa théorie mathématique à la marge des mathématiques dominantes. Né en Pologne, il est arrivé en France en 1936 avec sa famille qui fuit l'Allemagne nazie. Il fit des études brillantes de mathématiques qui le conduisent à être reçu d'abord à l'Ecole Normale Supérieure en 1945. Pourtant, comme il le relate, ses dispositions mathématiques l'éloignent rapidement de cette institution. Comme il l'explique dans un entretien, avec amertume, " c'étaient les débuts de l'époque où les mathématiques allaient être dominées par Nicolas Bourbaki, et je savais, par un oncle qui était professeur au Collège de France qu'il s'agissait d'un groupe de gens à l'esprit extrêmement étroit : l'idée qu'ils se faisaient des mathématiques étaient pour moi écrasante " : les mathématiques que soutient Nicolas Bourbaki reposent sur l'algèbre et non sur la géométrie, qui intéresse particulièrement Benoît Mandelbrot.

Après des études à l'Ecole polytechnique, Mandelbrot connaît une carrière rapidement partagée entre la France et les Etats-Unis, où il est soutenu par le mathématicien John von Neumann. Se trouvant rapidement isolé dans le monde universitaire français et américain, il accepte un poste dans les laboratoires IBM à partir de 1958, où il effectue une grande partie de sa carrière, avant de revenir à Harvard. En plein essor, mais encore peu connu, le fabricant d'ordinateurs a du mal à recruter des hommes déjà établis dans des domaines universitaires.

Pour faire accepter son travail, très différent des mathématiques développées à cette époque, Benoît Mandelbrot propose des modèles mathématiques pour des disciplines aussi diverses que l'économie de marché ou l'hydrologie. Dans ces domaines, il propose d'approcher certains problèmes à partir d'une description géométrique. En prenant l'exemple des cours de prix de matière première, il propose d'étudier de la même façon les variations à court et à long terme : ce sont les mêmes objets, à des échelles différentes. Autre problème qu'il a énoncé : quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? Celle-ci dépend évidemment de l'échelle choisie. Grâce à sa position à IBM, il commence à établir des représentations visuelles des modèles mathématiques qu'il propose, projetées sur un écran cathodique, grâce à un petit programme fabriqué dans le laboratoire.

Son travail est véritablement reconnu à partir de 1975 : il publie alors son ouvrage, Les objets fractals. Ce livre représente les résultats d'un cours qu'il a assuré au Collège de France, où il justifie la diversité des travaux par une formulation claire de la " théorie fractale ". C'est l'occasion pour lui de forger le terme "fractal", terme qui pour lui est " court, qui frappe, qui n'est ni étrange, ni compliqué et qui marche aussi bien en français qu'en anglais ". Il ajoute à son livre des images de montagne générées par ordinateur : " c'est ce qui a donné à son livre l'écho que ses conférences n'avaient jamais rencontré dans les milieux scientifiques ". Selon lui, " en faisant entrer l'oeil dans la science, on peut convaincre beaucoup de gens ".

La théorie fractale est surtout utilisée pour décrire les structures invariantes par effet d'échelle. Ces structures se caractérisent par leur " autosimilarité " : chacune de leurs parties, quelles qu'en soient les dimensions, est semblable au tout. Le monde naturel abonde en objets dont la meilleure représentation mathématique est fournie par les fractales : cristaux, surface de certains matériaux. L'étude de ces objets a conduit à distinguer les fractales parfaitement autosimilaires et les fractales dont l'autosimilarité n'est que statistique. Quantitativement, le degré de rugosité et de fragmentation d'une structure fractale se traduit à travers la notion de " dimension fractale ".

C'est dans le graphisme informatique que les fractales connaissent leur application la plus remarquée. En effet, grâce aux algorithmes fractals qu'il a mis au point, dès 1975, un ingénieur, Richard Voss (IBM) parvient à fabriquer avec Benoît Mandelbrot un petit film représentant des montagnes. Plus tard, Loren Carpenter des studios Lucasfilm a synthétisé de spectaculaires plans de planète imaginaires, dans lequel le réalisateur peut évoluer à son gré. Au fur et à mesure de son grossissement apparent, le relief observé livre de nouveaux détails, réguliers quant à leur structure, mais toujours aléatoires. La beauté des formes fractales a permis également de développer des oeuvres d'art graphiques.

Bibliographie :

" Comment j'ai découvert les fractales : entretien avec Benoît Mandelbrot ", propos recueillis par Marc Lesort, La Recherche n° 175 (1986), pp. 420-427.

Benoît Mandelbrot, Les objets fractals : forme, hasard, dimension, Paris, Flammarion, 1975.

Christelle Rabier

Éclairage média

L'émission " Juste une image " de Thierry Garrel utilise les ressorts classiques de l'émission de vulgarisation : le portrait en plan fixe et des animations. La particularité de la séquence est qu'elle utilise un document original de 1975 : le premier film de synthèse produit à partir de la géométrie fractale. En dépit de son caractère artisanal, ce document suscite, par son réalisme, l'adhésion ; il permet de comprendre comment Benoît Mandelbrot a fait valider ses recherches parmi les disciplines scientifiques.

Christelle Rabier

Transcription

Benoît Mandelbrot
Nous arrivons sur terre, et nous voyons un paysage de plus en plus précisément, un paysage qui paraît être peut-être un fjord, peut-être un lac de haute-montagne, un paysage de toutes façons qui paraît être très réaliste mais qui ne l'est pas : c'est une équation qui l'a produit.
(silence)
Benoît Mandelbrot
Nous pouvons également parcourir d'autres parties de la Terre. Nous voyons que, en changeant certains nombres dans la formule d'autres parties, on peut obtenir des montagnes très abruptes, des montagnes qui le sont moins, des hauts-plateaux, en fait une variété extrême de formes. Ces formes, la géométrie ordinaire ne le permettait pas. Elle s'occupait de sphères, de cônes, de cercles, de formes très simples. Mais les montagnes ne sont pas des cônes. Les nuages d'ailleurs ne sont pas des sphères, les rivières ne sont pas des lignes droites, les côtes ne sont pas des cercles. Donc la géométrie habituelle était incapable de représenter ces formes qui nous entourent. La géométrie fractale, elle, peut le faire. L'idée générale est en somme très simple. L'idée est celle d'une image d'une réalité dans laquelle toutes les parties sont identiques au tout, pas tout à fait identiques au tout mais enfin très semblables au tout. Par exemple, si on regardait une de ces petites collines qu'on voit à gauche du lac, si on regardait en détail, si on s'approchait, on verrait une montagne qui est en somme très semblable à la montagne qu'on voit à droite. Pour comparer vraiment le chaud et le froid, il faut un thermomètre, donc il faut un nombre - la température - qui indique que tel objet chaud est un objet froid. Eh bien, pour les reliefs, la même chose s'est produite : il a fallu identifier un nombre qui, dans ce cas, est un nombre barbare, de dimension fractale, et ce nombre mesure la complication ou la rugosité d'un relief. En changeant un petit peu la formule, au moyen de ce nombre, on peut choisir, plus ou moins à volonté, le genre de paysage qu'on va représenter.
(silence)